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中考数学专题(动态几何问题).doc

中考数学专题(动态几何问题)

德易
2012-04-13 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《中考数学专题(动态几何问题)doc》,可适用于小学教育领域

中考数学专题动态几何问题第一部分真题精讲【例】如图在梯形中梯形的高为.动点从点出发沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动动点同时从点出发沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动.设运动的时间为(秒).()当时求的值()试探究:为何值时为等腰三角形.【思路分析】本题作为密云卷压轴题自然有一定难度题目中出现了两个动点很多同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题首先就是要找谁在动谁没在动通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说都有一个由动转静的瞬间就本题而言MN是在动意味着BM,MC以及DN,NC都是变化的。但是我们发现和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC长度都是给定的而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定MNAB时就变成了一个静止问题。由此从这些条件出发列出方程自然得出结果。【解析】解:()由题意知当、运动到秒时如图①过作交于点则四边形是平行四边形.∵.∴.(根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法成功将MN放在三角形内将动态问题转化成平行时候的静态问题)∴.(这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键)∴.解得.【思路分析】第二问失分也是最严重的很多同学看到等腰三角形理所当然以为是MN=NC即可于是就漏掉了MN=MC,MC=CN这两种情况。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形一定不要忘记分类讨论的思想两腰一底一个都不能少。具体分类以后就成为了较为简单的解三角形问题于是可以轻松求解【解析】()分三种情况讨论:①当时如图②作交于则有即.(利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质)∵∴∴解得.②当时如图③过作于H.则∴.∴.③当时则..综上所述当、或时为等腰三角形.【例】在△ABC中∠ACB=o.点D(与点B、C不重合)为射线BC上一动点连接AD以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.()如果AB=AC.如图①且点D在线段BC上运动.试判断线段CF与BD之间的位置关系并证明你的结论.()如果AB≠AC如图②且点D在线段BC上运动.()中结论是否成立为什么?()若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P设AC=CD=求线段CP的长.(用含的式子表示)【思路分析】本题和上题有所不同上一题会给出一个条件使得动点静止而本题并未给出那个“静止点”所以需要我们去分析由D运动产生的变化图形当中什么条件是不动的。由题我们发现正方形中四条边的垂直关系是不动的于是利用角度的互余关系进行传递就可以得解。【解析】:()结论:CF与BD位置关系是垂直证明如下:AB=AC∠ACB=o∴∠ABC=o.由正方形ADEF得AD=AF∵∠DAF=∠BAC=o∴∠DAB=∠FAC∴△DAB≌△FAC∴∠ACF=∠ABD.∴∠BCF=∠ACB∠ACF=o.即CF⊥BD.【思路分析】这一问是典型的从特殊到一般的问法那么思路很简单就是从一般中构筑一个特殊的条件就行于是我们和上题一样找AC的垂线就可以变成第一问的条件然后一样求解。()CF⊥BD.()中结论成立.理由是:过点A作AG⊥AC交BC于点G∴AC=AG可证:△GAD≌△CAF∴∠ACF=∠AGD=o∠BCF=∠ACB∠ACF=o.即CF⊥BD【思路分析】这一问有点棘手D在BC之间运动和它在BC延长线上运动时的位置是不一样的所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是X还是X。分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP()过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q①点D在线段BC上运动时∵∠BCA=o可求出AQ=CQ=.∴DQ=x易证△AQD∽△DCP∴∴.②点D在线段BC延长线上运动时∵∠BCA=o可求出AQ=CQ=∴DQ=x.过A作交CB延长线于点G则.CF⊥BD△AQD∽△DCP∴∴.【例】已知如图在梯形中点是的中点是等边三角形.()求证:梯形是等腰梯形()动点、分别在线段和上运动且保持不变.设求与的函数关系式()在()中当取最小值时判断的形状并说明理由.【思路分析】本题有一点综合题的意味但是对二次函数要求不算太高重点还是在考察几何方面。第一问纯静态问题自不必说只要证两边的三角形全等就可以了。第二问和例一样是双动点问题所以就需要研究在P,Q运动过程中什么东西是不变的。题目给定∠MPQ=°这个度数的意义在哪里?其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来因为最终求两条线段的关系,所以我们很自然想到要通过相似三角形找比例关系怎么证相似三角形呢当然是利用角度咯于是就有了思路【解析】()证明:∵是等边三角形∴∵是中点∴∵∴∴∴∴梯形是等腰梯形.()解:在等边中∴(这个角度传递非常重要,大家要仔细揣摩)∴∴∴∵∴∴∴(设元以后得出比例关系,轻松化成二次函数的样子)【思路分析】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。由第二问所得的二次函数很轻易就可以求出当X取对称轴的值时Y有最小值。接下来就变成了“给定PC=求△PQC形状”的问题了。由已知的BC=自然看出P是中点于是问题轻松求解。()解:为直角三角形∵∴当取最小值时∴是的中点而∴∴以上三类题目都是动点问题这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件例如某边相等某角固定时将动态问题化为静态问题去求解。如果没有特殊条件那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的。当动的不是点而是一些具体的图形时思路是不是一样呢接下来我们看另外两道题【例】已知正方形中为对角线上一点过点作交于连接为中点连接.()直接写出线段与的数量关系()将图中绕点逆时针旋转如图所示取中点连接.你在()中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明.()将图中绕点旋转任意角度如图所示再连接相应的线段问()中的结论是否仍然成立?(不要求证明)【思路分析】这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。从旋转°到旋转任意角度要求考生讨论其中的不动关系。第一问自不必说两个共斜边的直角三角形的斜边中线自然相等。第二问将△BEF旋转°之后很多考生就想不到思路了。事实上本题的核心条件就是G是中点中点往往意味着一大票的全等关系如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在。连接AG之后抛开其他条件单看G点所在的四边形ADFE我们会发现这是一个梯形于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法自然想到过G点做AD,EF的垂线。于是两个全等的三角形出现了。()()()中结论没有发生变化即.证明:连接过点作于与的延长线交于点.在与中∵∴.∴.在与中∵∴.∴在矩形中在与中∵∴.∴.∴【思路分析】第三问纯粹送分不要求证明的话几乎所有人都会答出仍然成立。但是我们不应该止步于此。将这道题放在动态问题专题中也是出于此原因如果△BEF任意旋转哪些量在变化哪些量不变呢?如果题目要求证明应该如何思考。建议有余力的同学自己研究一下笔者在这里提供一个思路供参考:在△BEF的旋转过程中始终不变的依然是G点是FD的中点。可以延长一倍EG到H从而构造一个和EFG全等的三角形利用BE=EF这一条件将全等过渡。要想办法证明三角形ECH是一个等腰直角三角形就需要证明三角形EBC和三角形CGH全等利用角度变换关系就可以得证了。()()中的结论仍然成立.【例】已知正方形ABCD的边长为cm点E是射线BC上的一个动点连接AE交射线DC于点F将△ABE沿直线AE翻折点B落在点B′处.()当=时CF=cm()当=时求sin∠DAB′的值()当=x时(点C与点E不重合)请写出△ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式(只要写出结论不要解题过程).【思路分析】动态问题未必只有点的平移图形的旋转翻折(就是轴对称)也是一大热点。这一题是朝阳卷的压轴题第一问给出比例为第二问比例为第三问比例任意所以也是一道很明显的从一般到特殊的递进式题目。同学们需要仔细把握翻折过程中哪些条件发生了变化哪些条件没有发生变化。一般说来翻折中角边都是不变的所以轴对称图形也意味着大量全等或者相似关系所以要利用这些来获得线段之间的比例关系。尤其注意的是本题中给定的比例都是有两重情况的E在BC上和E在延长线上都是可能的所以需要大家分类讨论不要遗漏。【解析】()CF=cm(延长之后一眼看出EAZY)()①如图当点E在BC上时延长AB′交DC于点M∵AB∥CF∴△ABE∽△FCE∴.∵=∴CF=.∵AB∥CF∴∠BAE=∠F.又∠BAE=∠B′AE∴∠B′AE=∠F.∴MA=MF.设MA=MF=k则MC=kDM=k.在Rt△ADM中由勾股定理得:k=(k)解得k=MA=.∴DM=.(设元求解是这类题型中比较重要的方法)∴sin∠DAB′=②如图当点E在BC延长线上时延长AD交B′E于点N同①可得NA=NE.设NA=NE=m则B′N=m.在Rt△AB′N中由勾股定理得m=(m)解得m=AN=.∴B′N=.∴sin∠DAB′=.()①当点E在BC上时y=(所求△AB′E的面积即为△ABE的面积再由相似表示出边长)②当点E在BC延长线上时y=.【总结】通过以上五道例题我们研究了动态几何问题当中点动线动乃至整体图形动这么几种可能的方式。动态几何问题往往作为压轴题来出,所以难度不言而喻,但是希望考生拿到题以后不要慌张,因为无论是题目以哪种形态出现始终把握的都是在变化过程中那些不变的量。只要条分缕析,一个个将条件抽出来,将大问题化成若干个小问题去解决,就很轻松了为更好的帮助考生,笔者总结这种问题的一般思路如下:第一、仔细读题分析给定条件中那些量是运动的哪些量是不动的。针对运动的量要分析它是如何运动的运动过程是否需要分段考虑分类讨论。针对不动的量要分析它们和动量之间可能有什么关系如何建立这种关系。第二、画出图形进行分析尤其在于找准运动过程中静止的那一瞬间题目间各个变量的关系。如果没有静止状态通过比例相等等关系建立变量间的函数关系来研究。第三、做题过程中时刻注意分类讨论不同的情况下题目是否有不同的表现很多同学丢分就丢在没有讨论只是想当然看出了题目所给的那一种图示方式没有想到另外的方式如本讲例当中的比例关系意味着两种不一样的状况是否能想到就成了关键。第二部分发散思考【思考】已知:如图()射线射线是它们的公垂线点、分别在、上运动(点与点不重合、点与点不重合)是边上的动点(点与、不重合)在运动过程中始终保持且.()求证:∽()如图()当点为边的中点时求证:()设请探究:的周长是否与值有关?若有关请用含有的代数式表示的周长若无关请说明理由.【思路分析】本题动点较多并且是以和的形式给出长度。思考较为不易但是图中有多个直角三角形所以很自然想到利用直角三角形的线段、角关系去分析。第三问计算周长要将周长的三条线段分别转化在一类关系当中看是否为定值如果是关于M的函数那么就是有关如果是一个定值那么就无关于是就可以得出结论了。【思考】△ABC是等边三角形P为平面内的一个动点BP=BA若<∠PBC<°且∠PBC平分线上的一点D满足DB=DA()当BP与BA重合时(如图)∠BPD=°()当BP在∠ABC的内部时(如图)求∠BPD的度数()当BP在∠ABC的外部时请你直接写出∠BPD的度数并画出相应的图形.【思路分析】本题中和动点P相关的动量有∠PBC以及D点的位置但是不动的量就是BD是平分线并且DB=DA从这几条出发可以利用角度相等来找出相似、全等三角形。事实上P点的轨迹就是以B为圆心BA为半径的一个圆那D点是什么呢?留给大家思考一下~【思考】如图:已知四边形ABCD中ADBCDC⊥BC已知AB=BC=cosB=.点O为BC边上的一个动点连结OD以O为圆心BO为半径的⊙O分别交边AB于点P交线段OD于点M交射线BC于点N连结MN.()当BO=AD时求BP的长()点O运动的过程中是否存在BP=MN的情况?若存在请求出当BO为多长时BP=MN若不存在请说明理由()在点O运动的过程中以点C为圆心CN为半径作⊙C请直接写出当⊙C存在时⊙O与⊙C的位置关系以及相应的⊙C半径CN的取值范围。【思路分析】这道题和其他题目不同点在于本题牵扯到了有关圆的动点问题。在和圆有关的问题当中时刻不要忘记的就是圆的半径始终相等这一个隐藏的静态条件。本题第一问比较简单等腰梯形中的计算问题。第二问则需要用设元的方法表示出MN和BP从而讨论他们的数量关系。第三问的猜想一定要记得分类分情况讨论。【思考】在中过点C作CE⊥CD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转得到线段EF(如图)()在图中画图探究:①当P为射线CD上任意一点(P不与C重合)时连结EP??绕点E逆时针旋转得到线段EC判断直线FC与直线CD的位置关系并加以证明②当P为线段DC的延长线上任意一点时连结EP,将线段EP绕点E逆时针旋转得到线段EC判断直线CC与直线CD的位置关系画出图形并直接写出你的结论()若AD=,tanB=,AE=,在①的条件下设CP=S=求与之间的函数关系式并写出自变量的取值范围【思路分析】本题是去年中考原题虽不是压轴但动点动线一起考出来难倒了不少同学。事实上就在于如何把握这个旋转°的条件。旋转°自然就是垂直关系于是又出现了一堆直角三角形于是证角证线就手到擒来了。第二问一样是利用平行关系建立函数式但是实际过程中很多同学依然忘记分类讨论的思想漏掉了很多种情况失分非常可惜。建议大家仔细研究这道中考原题按照上面总结的一般思路去拆分条件步步为营的去解答。第三部分思考题解析【思考解析】()证明:∵∴.∴.又∵∴.∴.∴∽.()证明:如图过点作EMBEDEquation交于点∵是的中点容易证明.在中∵∴.∴EMBEDEquation.∴.()解:的周长EMBEDEquation.设则.∵∴.即.∴.由()知∽∴EMBEDEquationEMBEDEquationEMBEDEquation.∴的周长EMBEDEquation的周长.∴的周长与值无关.【思考答案】解:()∠BPD=°()如图连结CD.解一:∵点D在∠PBC的平分线上∴∠=∠.∵△ABC是等边三角形∴BA=BC=AC∠ACB=°.∵BP=BA∴BP=BC.∵BD=BD∴△PBD≌△CBD.∴∠BPD=∠.分∵DB=DABC=ACCD=CD∴△BCD≌△ACD.∴.∴∠BPD=°.解二:∵△ABC是等边三角形∴BA=BC=AC.∵DB=DA∴CD垂直平分AB.∴.∵BP=BA∴BP=BC.∵点D在∠PBC的平分线上∴△PBD与△CBD关于BD所在直线对称.∴∠BPD=∠.∴∠BPD=°.()∠BPD=°或°.图形见图、图.【思考解析】解:()过点A作AE⊥BC,在Rt△ABE中由AB=cosB=得BE=.∵CD⊥BCADBCBC=∴AD=EC=BC-BE=.当BO=AD=时在⊙O中过点O作OH⊥AB,则BH=HP∵,∴BH=.∴BP=.()不存在BP=MN的情况假设BP=MN成立∵BP和MN为⊙O的弦则必有∠BOP=∠DOC过P作PQ⊥BC过点O作OH⊥AB,∵CD⊥BC则有△PQO∽△DOC设BO=x则PO=x,由得BH=,∴BP=BH=∴BQ=BP×cosB=PQ=.∴OQ=.∵△PQO∽△DOC∴即得.当时BP==>=AB与点P应在边AB上不符∴不存在BP=MN的情况()情况一:⊙O与⊙C相外切此时<CN<分情况二:⊙O与⊙C相内切此时<CN≤分【思考解析】解:()①直线与直线的位置关系为互相垂直.证明:如图设直线与直线的交点为.∵线段分别绕点逆时针旋转°依次得到线段∴.∵∴.∴.∴.∵∴∴.∴.∴.∴.②按题目要求所画图形见图直线与直线的位置关系为互相垂直.()∵四边形是平行四边形∴.∵∴.可得.由()可得四边形为正方形.∴.①如图当点在线段的延长线上时∵∴.∴.②如图当点在线段上(不与两点重合)时∵∴.∴.③当点与点重合时即时不存在.综上所述与之间的函数关系式及自变量的取值范围是或.ADCBPMQ°CADB图图第题图图图ABCDOPMNABCD(备用图)ABCDOPMNQHFDCBAE图GGPHPDGPHCBAEF图FGPCABEDH图unknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknown

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