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首页 中考300压轴题第7部分抛物线之相似

中考300压轴题第7部分抛物线之相似.doc

中考300压轴题第7部分抛物线之相似

大人
2019-05-04 0人阅读 举报 0 0 0 暂无简介

简介:本文档为《中考300压轴题第7部分抛物线之相似doc》,可适用于考试题库领域

.如图在平面直角坐标系xOy中顶点为M的抛物线y=axbx(a>)经过点A和x轴正半轴上的点BAO=OB=∠AOB=°.()求这条抛物线的表达式()连接OM求∠AOM的大小()如果点C在x轴上且△ABC与△AOM相似求点C的坐标..如图已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(﹣)、B()、C(﹣).()求经过A、B、C三点的抛物线解析式()设直线BC交y轴于点E连接AE求证:AE=CE()设抛物线与y轴交于点D连接AD交BC于点F试问以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似吗?()若点P为直线AE上一动点当CPDP取最小值时求P点的坐标..如图抛物线y=axb与x轴交于点A、B且A点的坐标为()与y轴交于点C().()求抛物线的解析式并求出点B坐标()过点B作BD∥CA交抛物线于点D连接BC、CA、AD求四边形ABCD的周长(结果保留根号)()在x轴上方的抛物线上是否存在点P过点P作PE垂直于x轴垂足为点E使以B、P、E为顶点的三角形与△CBD相似?若存在请求出P点的坐标若不存在请说明理由..如图已知抛物线经过原点O顶点为A()且与直线y=x﹣交于BC两点.()求抛物线的解析式及点C的坐标()求证:△ABC是直角三角形()若点N为x轴上的一个动点过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M则是否存在以OMN为顶点的三角形与△ABC相似?若存在请求出点N的坐标若不存在请说明理由..如图在平面直角坐标系中抛物线y=axxc(a≠)与x轴交于A、B两点(点A在点B的右侧)与y轴交于点C点A的坐标为()抛物线的对称轴是直线x=.()求抛物线的解析式()M为第一象限内的抛物线上的一个点过点M作MG⊥x轴于点G交AC于点H当线段CM=CH时求点M的坐标()在()的条件下将线段MG绕点G顺时针旋转一个角α(°<α<°)在旋转过程中设线段MG与抛物线交于点N在线段GA上是否存在点P使得以P、N、G为顶点的三角形与△ABC相似?如果存在请求出点P的坐标如果不存在请说明理由..如图抛物线经过A()B()C(﹣)三点.()求出抛物线的解析式()P是抛物线上一动点过P作PM⊥x轴垂足为M是否存在P点使得以APM为顶点的三角形与△OAC相似?若存在请求出符合条件的点P的坐标若不存在请说明理由()在直线AC上方的抛物线上有一点D使得△DCA的面积最大求出点D的坐标..如图在平面直角坐标系中抛物线y=mx﹣mxm(m>)与y轴的交点为A与x轴的交点分别为B(x)C(x)且x﹣x=直线AD∥x轴在x轴上有一动点E(t)过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q.()求抛物线的解析式()当<t≤时求△APC面积的最大值()当t>时是否存在点P使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似?若存在求出此时t的值若不存在请说明理由..如图在平面直角坐标系xOy中直线y=x与x轴交于点A与y轴交于点C.抛物线y=axbxc的对称轴是x=﹣且经过A、C两点与x轴的另一交点为点B.()①直接写出点B的坐标②求抛物线解析式.()若点P为直线AC上方的抛物线上的一点连接PAPC.求△PAC的面积的最大值并求出此时点P的坐标.()抛物线上是否存在点M过点M作MN垂直x轴于点N使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似?若存在求出点M的坐标若不存在请说明理由..如图已知:直线y=﹣x交x轴于点A交y轴于点B抛物线y=axbxc经过A、B、C()三点.()求抛物线的解析式()若点D的坐标为(﹣)在直线y=﹣x上有一点P使△ABO与△ADP相似求出点P的坐标()在()的条件下在x轴下方的抛物线上是否存在点E使△ADE的面积等于四边形APCE的面积?如果存在请求出点E的坐标如果不存在请说明理由..如图已知抛物线y=axbx(a≠)经过A()、B()两点.()求抛物线的解析式()将直线OB向下平移m个单位长度后得到的直线与抛物线只有一个公共点D求m的值及点D的坐标()如图若点N在抛物线上且∠NBO=∠ABO则在()的条件下求出所有满足△POD∽△NOB的点P坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应)..在平面直角坐标系中抛物线y=axbx与x轴的两个交点分别为A(﹣)、B()过顶点C作CH⊥x轴于点H.()直接填写:a=  b=  顶点C的坐标为  ()在y轴上是否存在点D使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形?若存在求出点D的坐标若不存在说明理由()若点P为x轴上方的抛物线上一动点(点P与顶点C不重合)PQ⊥AC于点Q当△PCQ与△ACH相似时求点P的坐标..如图所示直线l:y=x与x轴交于点A与y轴交于点B.把△AOB沿y轴翻折点A落到点C抛物线过点B、C和D().()求直线BD和抛物线的解析式.()若BD与抛物线的对称轴交于点M点N在坐标轴上以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似求所有满足条件的点N的坐标.()在抛物线上是否存在点P使S△PBD=?若存在求出点P的坐标若不存在说明理由..如图已知抛物线y=axbxc(a≠)经过A(﹣)B()C()三点.()求这条抛物线的解析式()E为抛物线上一动点是否存在点E使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似?若存在试求出点E的坐标若不存在请说明理由()若将直线BC平移使其经过点A且与抛物线相交于点D连接BD试求出∠BDA的度数..已知抛物线y=xc与x轴交于A(﹣)B两点交y轴于点C.()求抛物线的解析式()点E(mn)是第二象限内一点过点E作EF⊥x轴交抛物线于点F过点F作FG⊥y轴于点G连接CE、CF若∠CEF=∠CFG.求n的值并直接写出m的取值范围(利用图完成你的探究).()如图点P是线段OB上一动点(不包括点O、B)PM⊥x轴交抛物线于点M∠OBQ=∠OMPBQ交直线PM于点Q设点P的横坐标为t求△PBQ的周长..如图在平面直角坐标系中顶点为A(﹣)的抛物线经过点B()且与x轴交于CD两点(点C在点D的左侧).()求抛物线的解析式()求点O到直线AB的距离()点M在第二象限内的抛物线上点N在x轴上且∠MND=∠OAB当△DMN与△OAB相似时请你直接写出点M的坐标..如图已知抛物线y=﹣(x)(x﹣m)(m>)与x轴相交于点A、B与y轴相交于点C且点A在点B的左侧.()若抛物线过点G()求实数m的值()在()的条件下解答下列问题:①求出△ABC的面积②在抛物线的对称轴上找一点H使AHCH最小并求出点H的坐标()在第四象限内抛物线上是否存在点M使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似?若存在求m的值若不存在请说明理由..已知抛物线y=x﹣mxmm﹣(m是常数)的顶点为P直线l:y=x﹣()求证:点P在直线l上()当m=﹣时抛物线与x轴交于AB两点与y轴交于点C与直线l的另一个交点为QM是x轴下方抛物线上的一点∠ACM=∠PAQ(如图)求点M的坐标()若以抛物线和直线l的两个交点及坐标原点为顶点的三角形是等腰三角形请直接写出所有符合条件的m的值..如图已知抛物线y=(x)(x﹣)与x轴交于点A、B(点A位于点B的左侧)与y轴交于点CCD∥x轴交抛物线于点DM为抛物线的顶点.()求点A、B、C的坐标()设动点N(﹣n)求使MNBN的值最小时n的值()P是抛物线上一点请你探究:是否存在点P使以P、A、B为顶点的三角形与△ABD相似(△PAB与△ABD不重合)?若存在求出点P的坐标若不存在说明理由..设抛物线的解析式为y=ax过点B()作x轴的垂线交抛物线于点A()过点B()作x轴的垂线交抛物线于点A…过点Bn(()n﹣)(n为正整数)作x轴的垂线交抛物线于点An连接AnBn得Rt△AnBnBn.()求a的值()直接写出线段AnBnBnBn的长(用含n的式子表示)()在系列Rt△AnBnBn中探究下列问题:①当n为何值时Rt△AnBnBn是等腰直角三角形?②设≤k<m≤n(km均为正整数)问:是否存在Rt△AkBkBk与Rt△AmBmBm相似?若存在求出其相似比若不存在说明理由..如图直线y=kxb(b>)与抛物线相交于点A(xy)B(xy)两点与x轴正半轴相交于点D与y轴相交于点C设△OCD的面积为S且kS=.()求b的值()求证:点(yy)在反比例函数的图象上()求证:x?OBy?OA=..如图在平面直角坐标中点O为坐标原点直线y=﹣x与x轴交于点A过点A的抛物线y=axbx与直线y=﹣x交于另一点B且点B的横坐标为.()求ab的值()点P是线段AB上一动点(点P不与点A、B重合)过点P作PM∥OB交第一象限内的抛物线于点M过点M作MC⊥x轴于点C交AB于点N过点P作PF⊥MC于点F设PF的长为tMN的长为d求d与t之间的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围)()在()的条件下当S△ACN=S△PMN时连接ON点Q在线段BP上过点Q作QR∥MN交ON于点R连接MQ、BR当∠MQR﹣∠BRN=°时求点R的坐标.解:()过点A作AE⊥y轴于点E∵AO=OB=∠AOB=°∴∠AOE=°∴OE=AE=∴A点坐标为:(﹣)B点坐标为:()将两点代入y=axbx得:解得:∴抛物线的表达式为:y=x﹣x()过点M作MF⊥OB于点F∵y=x﹣x=(x﹣x)=(x﹣x﹣)=(x﹣)﹣∴M点坐标为:(﹣)∴tan∠FOM==∴∠FOM=°∴∠AOM=°°=°()当点C在x轴负半轴上时则∠BAC=°而∠ABC=°此时∠C=°故此种情况不存在当点C在x轴正半轴上时∵AO=OB=∠AOB=°∴∠ABO=∠OAB=°∴AB=EO=当△ABC∽△AOM∴=∵MO==∴=解得:BC=∴OC=∴C的坐标为:()当△CBA∽△AOM∴=∴=解得:BC=∴OC=∴C的坐标为:().综上所述△ABC与△AOM相似时点C的坐标为:()或(). 方法一:解:()设函数解析式为:y=axbxc由函数经过点A(﹣)、B()、C(﹣)可得解得:故经过A、B、C三点的抛物线解析式为:y=﹣x﹣x()设直线BC的函数解析式为y=kxb由题意得:解得:即直线BC的解析式为y=﹣x.故可得点E的坐标为()从而可得:AE==CE==故可得出AE=CE()相似.理由如下:设直线AD的解析式为y=kxb则解得:即直线AD的解析式为y=x.联立直线AD与直线BC的函数解析式可得:解得:即点F的坐标为(﹣)则BF==又∵AB=BC==∴==∴=又∵∠ABF=∠CBA∴△ABF∽△CBA.故以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似.方法二:()略.()略.()若△ABF∽△ABC则即AB=BF×BC∵A(﹣)D()∴lAD:y=xlBC:y=﹣x∴lAD与lBC的交点F(﹣)∴AB=BF=BC=∴AB=BF×BC=×=∴AB=BF×BC又∵∠ABC=∠ABC∴△ABF∽△ABC.()由()知:KAE=KCE=﹣∴KAE×KCE=﹣∴AE⊥CE过C点作直线AE的对称点C点E为CC′的中点∴∵C(﹣)E()∴C′X=C′Y=﹣∵D()∴lC′D:y=﹣x∵lAE:y=x∴lC′D与lAE的交点P(). 方法一:解:()∵点A()和点C()在抛物线y=axb上∴解得:a=﹣b=∴抛物线的解析式为:y=﹣x抛物线的对称轴为y轴则点B与点A()关于y轴对称∴B(﹣).()设过点A()C()的直线解析式为y=kxb可得:解得k=﹣b=∴y=﹣x.∵BD∥CA∴可设直线BD的解析式为y=﹣xn∵点B(﹣)在直线BD上∴=n得n=﹣∴直线BD的解析式为:y=﹣x﹣.将y=﹣x﹣代入抛物线的解析式得:﹣x﹣=﹣x解得:x=x=﹣∵B点横坐标为﹣则D点横坐标为D点纵坐标为y=﹣﹣=﹣∴D点坐标为(﹣).如答图①所示过点D作DN⊥x轴于点N则DN=AN=BN=在Rt△BDN中BN=DN=由勾股定理得:BD=在Rt△ADN中DN=AN=由勾股定理得:AD=又OA=OB=OC=OC⊥AB由勾股定理得:AC=BC=∴四边形ABCD的周长为:ACBCBDAD==.()假设存在这样的点P则△BPE与△CBD相似有两种情形:(I)若△EPB∽△BDC如答图②所示则有即∴PE=BE.设OE=m(m>)则E(﹣m)BE=﹣mPE=BE=﹣m∴点P的坐标为(﹣m﹣m).∵点P在抛物线y=﹣x上∴﹣m=﹣(﹣m)解得m=或m=当m=时点E与点B重合故舍去当m=时点E在OB左侧点P在x轴下方不符合题意故舍去.因此此种情况不存在(II)若△EBP∽△BDC如答图③所示则有即∴BE=PE.设OE=m(m>)则E(m)BE=mPE=BE=(m)=m∴点P的坐标为(mm).∵点P在抛物线y=﹣x上∴m=﹣(m)解得m=﹣或m=∵m>故m=﹣舍去∴m=点P的纵坐标为:m=×=∴点P的坐标为().综上所述存在点P使以B、P、E为顶点的三角形与△CBD相似点P的坐标为().方法二:()略.()∵A()C()∴lAC:y=﹣x∵BD∥CA∴KBD=KAC=﹣∴lBD:y=﹣x﹣∴∴x=x=﹣(舍)∴D(﹣)∴AC==CB==BD==DA==∴四边形ABCD的周长为:.()∵C()B(﹣)∴KBC==∵KBD=﹣∴KBC×KBD=﹣∴BD⊥BC若△EPB∽△BDC则或①设点P(t﹣t)E(t)B(﹣)PE=PY=﹣tBE=EX﹣BX=t∵BD=CB=∴∴t=﹣(此时点P位于x轴下方故舍去)②∵∴∴t=∴P(). 解:()∵顶点坐标为()∴设抛物线解析式为y=a(x﹣)又抛物线过原点∴=a(﹣)解得a=﹣∴抛物线解析式为y=﹣(x﹣)即y=﹣xx联立抛物线和直线解析式可得解得或∴B()C(﹣﹣)()如图分别过A、C两点作x轴的垂线交x轴于点D、E两点则AD=OD=BD=BE=OBOE==EC=∴∠ABO=∠CBO=°即∠ABC=°∴△ABC是直角三角形()假设存在满足条件的点N设N(x)则M(x﹣xx)∴ON=|x|MN=|﹣xx|由()在Rt△ABD和Rt△CEB中可分别求得AB=BC=∵MN⊥x轴于点N∴∠ABC=∠MNO=°∴当△ABC和△MNO相似时有=或=①当=时则有=即|x||﹣x|=|x|∵当x=时M、O、N不能构成三角形∴x≠∴|﹣x|=即﹣x=±解得x=或x=此时N点坐标为()或()②当=时则有=即|x||﹣x|=|x|∴|﹣x|=即﹣x=±解得x=或x=﹣此时N点坐标为(﹣)或()综上可知存在满足条件的N点其坐标为()或()或(﹣)或(). 解:()∵x=﹣=b=∴a=﹣把A()a=﹣代入y=axxc可得()××c=解得c=则抛物线解析式为y=﹣xx.()如图连接CM过C点作CE⊥MH于点E∵y=﹣xx∴当x=时y=∴C点的坐标是()设直线AC解析式为y=kxb(k≠)把A()、C()代入y=kxb可得解得:∴直线AC解析式为y=﹣x∵点M在抛物线上点H在AC上MG⊥x轴∴设点M的坐标为(m﹣mm)H(m﹣m)∴MH=﹣mm﹣(﹣m)=﹣mm∵CM=CHOC=GE=∴MH=EH=×﹣(﹣m)=m又∵MH=﹣mm∴﹣mm=m即m(m﹣)=解得m=或m=(不符合题意舍去)∴m=当m=时y=﹣××=∴点M的坐标为().()存在点P使以PNG为顶点的三角形与△ABC相似理由为:∵抛物线与x轴交于A、B两点A()A、B两点关于直线x=成轴对称∴B(﹣)∵AC==BC==AB=∴ACBC==AB==∵ACBC=AB=∴△ABC为直角三角形∴∠ACB=°线段MG绕G点旋转过程中与抛物线交于点N当NP⊥x轴时∠NPG=°设P点坐标为(n)则N点坐标为(n﹣nn)①如图当=时∵∠NPG=∠ACB=°∴△NPG∽△ACB∴=解得:n=n=﹣(不符合题意舍去)∴P的坐标为().②当=时∵∠NPG=∠BCA=°∴△NPG∽△BCA∴解得:n=n=﹣(不符合题意舍去)∴P的坐标为().∴存在点P()或()使以PNG为顶点的三角形与△ABC相似. 解:()∵该抛物线过点C(﹣)设该抛物线的解析式为y=axbx﹣.将A()B()代入得解得∴此抛物线的解析式为y=﹣xx﹣.()存在.如图设P点的横坐标为m则点P的纵坐标为当<m<时AM=﹣mPM=又∵∠COA=∠PMA=°∴①当==时△APM∽△ACO∴=即|﹣m|=()∴﹣m=mm﹣∴m﹣m=∴(m﹣)(m﹣)=解得:m=m=(舍去)∴P()②当△APM∽△CAO那么有:|﹣m|=∴(﹣m)=﹣mm﹣∴m﹣m=∴(m﹣)(m﹣)=解得:m=(舍去)m=(舍去)∴当<m<时P()类似地可求出当m>时P(﹣)当m<时P(﹣﹣)当PC重合时△APM≌△ACOP(﹣).综上所述符合条件的点P为()或(﹣)或(﹣﹣)或(﹣)()如图设D点的横坐标为t(<t<)则D点的纵坐标为﹣tt﹣.过D作y轴的平行线交AC于E.由题意可求得直线AC的解析式为y=x﹣.∴E点的坐标为(tt﹣).∴DE=﹣tt﹣﹣(t﹣)=﹣tt.∴S△DAC=×(﹣tt)×=﹣tt=﹣(t﹣).∴当t=时△DAC面积最大.∴D(). 解:()由题意知x、x是方程mx﹣mxm=的两根∴xx=由解得:∴B()、C()则m﹣mm=解得:m=∴该抛物线解析式为:y=()可求得A()设直线AC的解析式为:y=kxb∵∴∴直线AC的解析式为:y=﹣x要构成△APC显然t≠分两种情况讨论:①当<t<时设直线l与AC交点为F则:F(t﹣)∵P(t)∴PF=∴S△APC=S△APFS△CPF===此时最大值为:②当<t≤时设直线l与AC交点为M则:M(t﹣)∵P(t)∴PM=∴S△APC=S△APM﹣S△CPM===当t=时取最大值最大值为:综上可知当<t≤时△APC面积的最大值为()方法一:如图连接AB则△AOB中∠AOB=°AO=BO=Q(t)P(t)①当<t<时AQ=tPQ=若:△AOB∽△AQP则:即:∴t=(舍)或t=若△AOB∽△PQA则:即:∴t=(舍)或t=(舍)②当t>时AQ′=tPQ′=若:△AOB∽△AQP则:即:∴t=(舍)或t=若△AOB∽△PQA则:即:∴t=(舍)或t=方法二:若以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似则或设P(t)(t>)∴Q(t)①||=∴||=∴t=(舍)t=②||=∴||=∴t=t=解:()①y=当x=时y=当y=时x=﹣∴C()A(﹣)由抛物线的对称性可知:点A与点B关于x=﹣对称∴点B的坐标为).②∵抛物线y=axbxc过A(﹣)B()∴可设抛物线解析式为y=a(x)(x﹣)又∵抛物线过点C()∴=﹣a∴a=∴y=xx.()设P(mmm).过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q∴Q(mm)∴PQ=mm﹣(m)=m﹣m∵S△PAC=×PQ×=PQ=﹣m﹣m=﹣(m)∴当m=﹣时△PAC的面积有最大值是此时P(﹣).()方法一:在Rt△AOC中tan∠CAO=在Rt△BOC中tan∠BCO=∴∠CAO=∠BCO∵∠BCO∠OBC=°∴∠CAO∠OBC=°∴∠ACB=°∴△ABC∽△ACO∽△CBO如图:①当M点与C点重合即M()时△MAN∽△BAC②根据抛物线的对称性当M(﹣)时△MAN∽△ABC③当点M在第四象限时设M(nnn)则N(n)∴MN=nn﹣AN=n当时MN=AN即nn﹣=(n)整理得:nn﹣=解得:n=﹣(舍)n=∴M(﹣)当时MN=AN即nn﹣=(n)整理得:n﹣n﹣=解得:n=﹣(舍)n=∴M(﹣).综上所述:存在M()M(﹣)M(﹣)M(﹣)使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似.方法二:∵A(﹣)B()C()∴KAC×KBC=﹣∴AC⊥BCMN⊥x轴若以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似则设M(t﹣t﹣t)∴N(t)①||=∴||=∴t=t=②||=∴||=∴t=t=﹣综上所述:存在M()M(﹣)M(﹣)M(﹣)使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似. 解:()由题意得A()B()∵抛物线经过A、B、C三点∴把A()B()C()三点分别代入y=axbxc得方程组解得:∴抛物线的解析式为y=x﹣x()由题意可得:△ABO为等腰三角形如答图所示若△ABO∽△APD则∴DP=AD=∴P(﹣)若△ABO∽△ADP过点P作PM⊥x轴于MAD=∵△ABO为等腰三角形∴△ADP是等腰三角形由三线合一可得:DM=AM==PM即点M与点C重合∴P()综上所述点P的坐标为P(﹣)P()()不存在.理由:如答图设点E(xy)则S△ADE=①当P(﹣)时S四边形APCE=S△ACPS△ACE==|y|∴|y|=|y|∴|y|=∵点E在x轴下方∴y=﹣代入得:x﹣x=﹣即x﹣x=∵△=(﹣)﹣×=﹣<∴此方程无解②当P()时S四边形APCE=S△ACPS△ACE==|y|∴|y|=|y|∴|y|=∵点E在x轴下方∴y=﹣代入得:x﹣x=﹣即x﹣x=∵△=(﹣)﹣×=﹣<∴此方程无解综上所述在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E. 解:()∵抛物线y=axbx(a≠)经过A()、B()∴将A与B两点坐标代入得:解得:∴抛物线的解析式是y=x﹣x.()设直线OB的解析式为y=kx由点B()得:=k解得:k=∴直线OB的解析式为y=x∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为:y=x﹣m∵点D在抛物线y=x﹣x上∴可设D(xx﹣x)又∵点D在直线y=x﹣m上∴x﹣x=x﹣m即x﹣xm=∵抛物线与直线只有一个公共点∴△=﹣m=解得:m=此时x=x=y=x﹣x=﹣∴D点的坐标为(﹣).()∵直线OB的解析式为y=x且A()∴点A关于直线OB的对称点A′的坐标是()根据轴对称性质和三线合一性质得出∠A′BO=∠ABO设直线A′B的解析式为y=kx过点()∴k=解得:k=∴直线A′B的解析式是y=∵∠NBO=∠ABO∠A′BO=∠ABO∴BA′和BN重合即点N在直线A′B上∴设点N(n)又点N在抛物线y=x﹣x上∴=n﹣n解得:n=﹣n=(不合题意舍去)∴N点的坐标为(﹣).方法一:如图将△NOB沿x轴翻折得到△NOB则N()B(﹣)∴O、D、B都在直线y=﹣x上.∵△POD∽△NOB△NOB≌△NOB∴△POD∽△NOB∴∴点P的坐标为().将△OPD沿直线y=﹣x翻折可得另一个满足条件的点P()方法二:如图将△NOB绕原点顺时针旋转°得到△NOB则N()B(﹣)∴O、D、B都在直线y=﹣x上.∵△POD∽△NOB△NOB≌△NOB∴△POD∽△NOB∴∴点P的坐标为().将△OPD沿直线y=﹣x翻折可得另一个满足条件的点P()方法三:∵直线OB:y=x是一三象限平分线∴A()关于直线OB的对称点为A′()∴得:x=(舍)x=﹣∴N(﹣)∵D(﹣)∴lOD:y=﹣x∵lOD:y=x∴OD⊥OB∵△POD∽△NOB∴N(﹣)旋转°后N()或N关于x轴对称点N(﹣﹣)∵OB=OD=∴∵P为ON或ON中点∴P()P(). 解:()a=﹣b=﹣顶点C的坐标为(﹣)()假设在y轴上存在满足条件的点D过点C作CE⊥y轴于点E.由∠CDA=°得∠∠=°.又∠∠=°∴∠=∠.又∵∠CED=∠DOA=°∴△CED∽△DOA∴.设D(c)则.变形得c﹣c=解之得c=c=.综合上述:在y轴上存在点D()或()使△ACD是以AC为斜边的直角三角形.()①若点P在对称轴右侧(如图①)只能是△PCQ∽△CAH得∠QCP=∠CAH.延长CP交x轴于M∴AM=CM∴AM=CM.设M(m)则(m)=(m)∴m=即M().设直线CM的解析式为y=kxb则解之得.∴直线CM的解析式.联立解之得或(舍去).∴.②若点P在对称轴左侧(如图②)只能是△PCQ∽△ACH得∠PCQ=∠ACH.过A作CA的垂线交PC于点F作FN⊥x轴于点N.由△CFA∽△CAH得由△FNA∽△AHC得.∴AN=FN=CH=HO=则AH=∴点F坐标为(﹣).设直线CF的解析式为y=kxb则解之得.∴直线CF的解析式.联立解之得或(舍去).∴.∴满足条件的点P坐标为或. 解:()∵直线l:y=x与x轴交于点A与y轴交于点B∴A(﹣)B()∵把△AOB沿y轴翻折点A落到点C∴C().设直线BD的解析式为:y=kxb∵点B()D()在直线BD上∴解得k=﹣b=∴直线BD的解析式为:y=﹣x.设抛物线的解析式为:y=a(x﹣)(x﹣)∵点B()在抛物线上∴=a×(﹣)×(﹣)解得:a=∴抛物线的解析式为:y=(x﹣)(x﹣)=x﹣x.()抛物线的解析式为:y=x﹣x=(x﹣)﹣∴抛物线的对称轴为直线x=顶点坐标为(﹣).直线BD:y=﹣x与抛物线的对称轴交于点M令x=得y=∴M().设对称轴与x轴交点为点F则CF=FD=MF=∴△MCD为等腰直角三角形.∵以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似∴△BND为等腰直角三角形.如答图所示:(I)若BD为斜边则易知此时直角顶点为原点O∴N()(II)若BD为直角边B为直角顶点则点N在x轴负半轴上∵OB=OD=ON=∴N(﹣)(III)若BD为直角边D为直角顶点则点N在y轴负半轴上∵OB=OD=ON=∴N(﹣).∴满足条件的点N坐标为:()(﹣)或(﹣).()方法一:假设存在点P使S△PBD=设点P坐标为(mn).(I)当点P位于直线BD上方时如答图所示:过点P作PE⊥x轴于点E则PE=nDE=m﹣.S△PBD=S梯形PEOB﹣S△BOD﹣S△PDE=(n)?m﹣××﹣(m﹣)?n=化简得:mn=①∵P(mn)在抛物线上∴n=m﹣m代入①式整理得:m﹣m﹣=解得:m=m=﹣∴n=n=∴P()P(﹣)(II)当点P位于直线BD下方时如答图所示:过点P作PE⊥y轴于点E则PE=mOE=﹣nBE=﹣n.S△PBD=S梯形PEODS△BOD﹣S△PBE=(m)?(﹣n)××﹣(﹣n)?m=化简得:mn=﹣②∵P(mn)在抛物线上∴n=m﹣m代入②式整理得:m﹣m=△=﹣<此方程无解.故此时点P不存在.综上所述在抛物线上存在点P使S△PBD=点P的坐标为()或(﹣).方法二:假设存在点P使S△PBD=过点P作直线l平行BD则l与BD的距离为d∵BD==∴S△PBD=BD×d∴d=∵BD与y轴夹角为°∴BB′=∴将BD上移或下移个单位①上移个单位l解析式为:y=﹣x∵y=x﹣x∴x﹣x﹣=∴x=x=﹣②下移个单位l解析式为y=﹣x﹣∵y=x﹣x∴x﹣x=△<∴此方程无解综上所述点P的坐标为()或(﹣). 方法一:解:()∵该抛物线过点C()∴可设该抛物线的解析式为y=axbx.将A(﹣)B()代入得解得∴抛物线的解析式为:y=﹣xx.()存在.由图象可知以A、B为直角顶点的△ABE不存在所以△ABE只可能是以点E为直角顶点的三角形.在Rt△BOC中OC=OB=∴BC==.在Rt△BOC中设BC边上的高为h则×h=××∴h=.∵△BEA∽△COB设E点坐标为(xy)∴=∴y=±将y=代入抛物线y=﹣xx得x=x=.当y=﹣时不合题意舍去.∴E点坐标为()().()如图连结AC作DE⊥x轴于点E作BF⊥AD于点F∴∠BED=∠BFD=∠AFB=°.设BC的解析式为y=kxb由图象得∴yBC=﹣x.由BC∥AD设AD的解析式为y=﹣xn由图象得=﹣×(﹣)n∴n=﹣yAD=﹣x﹣.∴﹣xx=﹣x﹣解得:x=﹣x=∴D(﹣)与A重合舍去∴D(﹣).∵DE⊥x轴∴DE=OE=.由勾股定理得BD=.∵A(﹣)B()C()∴OA=OB=OC=.∴AB=在Rt△AOC中Rt△BOC中由勾股定理得AC=BC=∴AC=BC=AB=∴ACBC=AB∴△ACB是直角三角形∴∠ACB=°.∵BC∥AD∴∠CAF∠ACB=°∴∠CAF=°.∴∠CAF=∠ACB=∠AFB=°∴四边形ACBF是矩形∴AC=BF=在Rt△BFD中由勾股定理得DF=∴DF=BF∴∠ADB=°.方法二:()略.()∵以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似∴AE⊥BE且或∵E为抛物线上一动点∴设E(t﹣)A(﹣)B()∴∴t﹣t=解得:t=t=∴E()E()①当E()时AE=BE=∴∵∴∴△ABE∽△COB②当E()时同理△ABE∽△COB∴E()E().()过B点作AD的垂线垂足为H∵B()C()∴KBC==﹣∵BC∥AD∴KAD=﹣lAD:y=﹣x﹣∵BH⊥AD∴KBH×KAD=﹣∴KBH=lBH:y=x﹣∴lAD与lBH的交点H(﹣)∴解得x=﹣(舍)x=∴D(﹣)∵B()H(﹣)∴BH=BD=∴sin∠BDH=∴∠BDA=°. 解:()把A(﹣)代入得c=﹣∴抛物线解析式为()如图过点C作CH⊥EF于点H∵∠CEF=∠CFGFG⊥y轴于点G∴△EHC∽△FGC∵E(mn)∴F(m)又∵C(﹣)∴EH=nCH=﹣mFG=﹣mCG=m又∵则∴n=∴n=当F点位于E点上方时则∠CEF>°又∠CFG肯定为锐角故这种情形不符合题意.由此当n=时代入抛物线解析式求得m=±又E点位于第二象限所以﹣<m<.()由题意可知P(t)M(t)∵PM⊥x轴交抛物线于点M∠OBQ=∠OMP∴△OPM∽△QPB.∴.其中OP=tPM=PB=﹣t∴PQ=.BQ=∴PQBQPB=.∴△PBQ的周长为. 解:()设抛物线的解析式为y=a(x﹣)﹣将B点坐标代入函数解析式得(﹣)a﹣=解得a=.故抛物线的解析式为y=(x﹣)﹣()由勾股定理得OA==OB==AB=(﹣)()=OAAB=OB∴∠OAB=°O到直线AB的距离是OA=()设M(ab)N(a)当y=时(x﹣)﹣=解得x=x=﹣D()DN=﹣a.①当△MND∽△OAB时=即=化简得b=a﹣①M在抛物线上得b=(a﹣)﹣②联立①②得解得a=(不符合题意舍)a=﹣b=M(﹣)当△MND∽△BAO时=即=化简得b=﹣a③联立②③得解得a=(不符合题意舍)a=﹣b=﹣×(﹣)=M(﹣).综上所述:当△DMN与△OAB相似时点M的坐标(﹣)(﹣). 解:()∵抛物线过G()∴把G坐标代入抛物线解析式得:=﹣()(﹣m)解得:m=()①令y=得到﹣(x)(x﹣m)=解得:x=﹣x=m∵m>∴A(﹣)B(m)把m=代入得:B()∴AB=令x=得到y=即C()∴OC=则S△ABC=××=②∵A(﹣)B()∴抛物线解析式为y=﹣(x)(x﹣)的对称轴为x=如图连接BC交对称轴于点H由对称轴的性质和两点之间线段最短的性质可得:此时AHCH=BHCH=BC最小设直线BC的解析式为y=kxb把B与C坐标代入得:解得:∴直线BC解析式为y=﹣x令x=得到y=即H()()在第四象限内抛物线上存在点M使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似分两种情况考虑:(i)当△ACB∽△ABM时则有=即AB=AC?AM∵A(﹣)C()即OA=OC=∴∠CAB=°∠BAM=°如图过M作MN⊥x轴交x轴于点N则AN=MN∴OAON=ON=MN设M(x﹣x﹣)(x>)把M坐标代入抛物线解析式得:﹣x﹣=﹣(x)(x﹣m)∵x>∴x>∵m>∴x=m即M(m﹣m﹣)∴AM==(m)∵AB=AC?AMAC=AB=m∴(m)=?(m)解得:m=±∵m>∴m=(ii)当△ACB∽△MBA时则=即AB=CB?MA∵∠CBA=∠BAM∠ANM=∠BOC=°∴△ANM∽△BOC∴=∵OB=m设ON=x∴=即MN=(x)令M(x﹣(x))(x>)把M坐标代入抛物线解析式得:﹣(x)=﹣(x)(x﹣m)∵x>∴x>∵m>∴x=m即M(m﹣(m))∵AB=CB?MACB=AN=mMN=(m)∴(m)=?整理得:=显然不成立 ()证明:∵y=x﹣mxmm﹣=(x﹣m)m﹣∴点P的坐标为(mm﹣)∵当x=m时y=x﹣=m﹣∴点P在直线l上()解:当m=﹣时抛物线解析式为y=xx当y=时xx=解得x=﹣x=﹣则A(﹣)当x=时y=xx=则C()可得解方程组解得或则P(﹣﹣)Q(﹣﹣)作ME⊥y轴于EPF⊥x轴于FQG⊥x轴于G如图∵OA=OC=∴△OAC为等腰直角三角形∴∠ACO=°∴∠MCE=°﹣∠ACM∵QG=OG=∴AG=OA﹣OG==QG∴△AQG为等腰直角三角形∴∠QAG=°∵∠APF=°﹣∠PAF=°﹣(∠PAQ°)=°﹣∠PAQ∵∠ACM=∠PAQ∴∠APF=∠MCE∴Rt△CME∽Rt△PAF∴=设M(xxx)∴ME=﹣xCE=﹣(xx)=﹣x﹣x∴=整理得xx=解得x=(舍去)x=﹣∴点M的坐标为(﹣﹣)()解:解方程组得或则P(mm﹣)Q(mm)∴PQ=(m﹣m)(m﹣m)=OQ=(m)m=mmOP=m(m﹣)=m﹣m当PQ=OQ时mm=解得m=m=当PQ=OP时m﹣m=解得m=m=当OP=OQ时mm=m﹣m解得m=综上所述m的值为. 解:()令y=得x=﹣x=∴点A(﹣)、B()令x=得y=﹣∴点C(﹣)()将x=代入抛物线的解析式得y=﹣∴点M的坐标为(﹣)∴点M关于直线x=﹣的对称点M′的坐标为(﹣)设直线M′B的解析式为y=kxb将点M′、B的坐标代入得:解得:所以直线M′B的解析式为y=.将x=﹣代入得:y=﹣所以n=﹣.()过点D作DE⊥BA垂足为E.由勾股定理得:AD==BD=如下图①当PAB∽△ADB时即:∴PB=过点P作PM⊥AB垂足为M.∴即:解得:PM=∵即:解得:BM=∴点P的坐标为(﹣)∵点P不在抛物线上所以此种情况不存在②当△PAB∽△BDA时即:∴PB=过点P作PM⊥AB垂足为M.∴即:∴PM=∵即:∴MB=∴点P的坐标为(﹣)将x=﹣代入抛物线的解析式得:y=∴点P在抛物线上.由抛物线的对称性可知:点P与点P关于直线x=对称∴P的坐标为()当点P位于点C处时两三角形全等所以点P的坐标为(﹣)综上所述点P的坐标为:(﹣)或()或(﹣)时以P、A、B为顶点的三角形与△ABD相似. 解:()∵点A()在抛物线的解析式为y=ax上∴a=()AnBn=x=×()n﹣=BnBn=()由Rt△AnBnBn是等腰直角三角形得AnBn=BnBn则:=n﹣=nn=∴当n=时Rt△AnBnBn是等腰直角三角形②依题意得∠AkBkBk=∠AmBmBm=°有两种情况:i)当Rt△AkBkBk∽Rt△AmBmBm时===所以k=m(舍去)ii)当Rt△AkBkBk∽Rt△BmBmAm时===∴km=∵≤k<m≤n(km均为正整数)∴取或当时Rt△ABB∽Rt△BBA相似比为:==当时Rt△ABB∽Rt△BBA相似比为:==所以:存在Rt△AkBkBk与Rt△AmBmBm相似其相似比为:或:. ()解:∵直线y=kxb(b>)与x轴正半轴相交于点D与y轴相交于点C∴令x=得y=b令y=x=﹣∴△OCD的面积S=(﹣)?b=﹣.∵kS=∴k(﹣)=解得b=±∵b>∴b=()证明:由()知直线的解析式为y=kx即x=将x=代入y=x得y=()整理得y﹣(k)y=.∵直线y=kx与抛物线相交于点A(xy)B(xy)两点∴yy是方程y﹣(k)y=的两个根∴y?y=∴点(yy)在反比例函数的图象上()方法一:证明:由勾股定理得OA=OB=AB=(x﹣x)(y﹣y)由()得y?y=同理将y=kx代入y=x得kx=x即x﹣kx﹣=∴x?x=﹣∴AB=﹣x?x﹣y?y=又∵OAOB=∴OAOB=AB∴△OAB是直角三角形∠AOB=°.如图过点A作AE⊥x轴于点E过点B作BF⊥x轴于点F.∵∠AOB=°∴∠AOE=°﹣∠BOF=∠OBF又∵∠AEO=∠OFB=°∴△AEO∽△OFB∴=∵OE=﹣xBF=y∴=∴x?OBy?OA=.方法二:分别过AB两点作x轴垂线垂足分别为E、F?x﹣kx﹣=∴x=k﹣x=ky=k﹣ky=k∴A(k﹣k﹣k)B(kk)KOA×KOB===﹣<∴OA⊥OB∠AOE∠BOF=°AE⊥x轴∠AOE∠OAE=°∴∠BOF=∠OAE∵BF⊥x轴∴∠AEO=∠BFO=°∴△AEO∽△BFO∴∵OE=﹣xBF=y∴x?OBy?OA=. 方法一:解:()∵y=﹣x与x轴交于点A∴A()∵点B的横坐标为且直线y=﹣x经过点B∴B()∵抛物线y=axbx经过A()B()∴解得:∴a=﹣b=()如图作BD⊥x轴于点D延长MP交x轴于点E∵B()A()∴OD=BD=OA=∴AD=∴AD=BD∵∠BDA=°∠BAD=∠ABD=°∵MC⊥x轴∴∠ANC=∠BAD=°∴∠PNF=∠ANC=°∵PF⊥MC∴∠FPN=∠PNF=°∴NF=PF=t∵∠PFM=∠ECM=°∴PF∥EC∴∠MPF=∠MEC∵ME∥OB∴∠MEC=∠BOD∴∠MPF=∠BOD∴tan∠BOD=tan∠MPF∴==∴MF=PF=t∵MN=MFFN∴d=tt=t()如备用图由()知PF=tMN=t∴S△PMN=MN×PF=×t×t=t∵∠CAN=∠ANC∴CN=AC∴S△ACN=AC∵S△ACN=S△PMN∴AC=t∴AC=t∴CN=t∴MC=MNCN=t∴OC=OA﹣AC=﹣t∴M(﹣tt)由()知抛物线的解析式为:y=﹣xx将M(﹣tt)代入y=﹣xx得:﹣(﹣t)(﹣t)=t解得:t=(舍)t=∴PF=NF=AC=CN=OC=MF=PN=PM=AN=∵AB=∴BN=作NH⊥RQ于点H∵QR∥MN∴∠MNH=∠RHN=°∠RQN=∠QNM=°∴∠MNH=∠NCO∴NH∥OC∴∠HNR=∠NOC∴tan∠HNR=tan∠NOC∴==设RH=n则HN=n∴RN=nQN=n∴PQ=QN﹣PN=n﹣∵ON==OB==∴OB=ON∴∠OBN=∠BNO∵PM∥OB∴∠OBN=∠MPB∴∠MPB=∠BNO∵∠MQR﹣∠BRN=°∠MQR=∠MQP∠RQN=∠MQP°∴∠BRN=∠MQP∴△PMQ∽△NBR∴=∴=解得:n=∴R的横坐标为:﹣=R的纵坐标为:﹣=∴R().方法二:()略.()延长MP交x轴于点M′作M′N′∥MN交AB于N′延长FP交M′N′于F′∵M′N′∥MN∴△PMN∽△PM′N′∴∵O()B()∴KOB=∵PM∥OB∴KPM=KOB=则lPM:y=xb设P(p﹣p)则b=﹣p∴lPM:y=x﹣P把y=代入∴x=∴M′()∵N′x=M′x把x=代入y=﹣x∴y=∴N′()∴M′N′=∵PF′⊥M′N′∴PF′=p﹣=∴.()设M(t﹣tt)N(t﹣t)∴MN=﹣ttt﹣=﹣tt﹣∴PF=(﹣tt﹣)∴S△PMN=(﹣tt﹣)=(t﹣)(t﹣)∵KAB=﹣∴∠OAB=°∴CA=CN=﹣t∴S△ACN=(t﹣)∵S△ACN=S△PMN∴(t﹣)(t﹣)=(t﹣)∴t=﹣(舍)t=∴M()∵MX=NX=∴N()∴ON=∵B()∴OB=∴OB=ON∠OBN=∠ONB∵QR∥MN∴∠OBN=∠QPM∴∠ONB=∠QPM∠RQA=°∵∠MQR﹣∠BRN=°∴∠BRN=∠MQP∴△BRN∽△MQP∴∵KPM=M()∴lPM:y=x﹣∵lAB:y=﹣x∴P()设R(tt)∴Q(t﹣t)∴∴t=t=(舍)∴R().  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新课改视野下建构高中语文教学实验成果报告(32KB)

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